Programme du cours
Chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires
Espaces vectoriels sur un corps, bases et dimension, sous-espaces, espace dual,
applications linéaires, alternative de Fredholm (voir aussi exposé 7):
exposé 1
exposé 2
exposé 3
exposé 4
exposé 5
exposé 6
exercices 1
solutions 1
Matrices, la matrice d'une application linéaire (voir aussi exposé 6), applications sur les opérateurs linéaires,
la trace et la déterminante comme applications sur l'espace des opérateurs linéaires,
groupes et algebres de Lie classiques :
exposé 7
exposé 8
exposé 9
exercices 2
solutions 2,
exercices 3
solutions 3,
Position de sous-espaces vectoriels, somme et somme directe, projections :
exposé 10,
exercices 4
solutions 4,
Quotients des espaces vectoriels, co-noyau et co-image d'une application linéaire,
l'indice comme invariant algébrique, dualité, symétrie entre espaces duaux, applications duales :
exposé 11
exercices 5
solutions 5,
Chapitre 2 : La structure des applications linéaires
Classification des applications linéaires entre deux espaces vectoriels (voir exposé 9, Thm. 1). Valeurs et vecteurs
propres, polynome characteristique d'un opérateur.
Classification des opérateurs linéaires, enoncé du théoreme de Jordan, jordanisation des matrices,
opérateurs et matrices
diagonalisables, diagonalisabilté des opérateurs avec spectre simple, projecteurs, involutions et
structures complexes : exposé 12,
exercices 6 solutions 6
Le polynome characteristique et le polynome minimal comme invariants d'un opérateur :
lien avec le théoreme de Jordan. Opérateurs nilpotents et matrices nilpotentes. La preuve du théoreme de Jordan (un exposé et demi) :
exposé 13
exposé 14
exposé 15
exposé 16a,
exercices 7 solutions 7
Applications du théoreme de Jordan :
exponentielle d'un opérateur et d'une matrice, la déterminante de l'exponentielle,
lien entre les algebres et les groupes de Lie :
exposé 16b
exposé 17,
exercices 8 solutions 8
Chapitre 3 : Formes bilinéaires, produits scalaires et euclidiens, formes symplectiques
Applications polylinéaires - exemples ; formes bi-linéaires, matrice de Gram,
dualité, formes symétriques et anti-symétriques, problemes de classifications, la classification dans
les cas de dimension 1 et 2 :
exposé 18
exposé 19,
exercices 9 solutions 9
La classification des formes bilinéaires symétriques et anti-symétriques ; signature ;
coordonnées orthonormales et symplectiques ; formes canoniques ; diagonalisation des formes
bi-linéaires symétriques ; formes quadratiques :
exposé 20 exposé 21,
exercices 10 solutions 10
Produits scalaires et euclidiens ; opérateurs othogonaux et formes normales ; le groupe O(p,q) ;
le théoreme d'Euler. Opérateurs auto-adjoints et le théoreme de diagonalisation des matrices
symétriques ; formes bilnéaires symétriques sur un espace euclidien :
exposé 22
exposé 23 exposé 24 exposé 25,
exercices 11
devoir1 ,
examen1
devoir2 , examen final
plan de cours