Horaire

Lundi, 11:00-12:30, PK-1320 (cours), Mercredi, 11:00-12:30, PK-1320 (cours).

Heures de consultation

Mercredi, 14:00-15:00, Bureau PK-5240, ou en prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)

Plan du cours

plan de cours

Programme hebdomadaire du cours

Chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires (rappels)

  • Espaces vectoriels sur un corps (espaces vectoriels réels), bases et dimension, sous-espaces.

  • Applications lineaires, theoreme du rang. L'espace dual. Isomorphismes canoniques.

  • Position des sous-espaces, sommes directes des espaces vectoriels. Projecteurs. Espaces quotients. Indice d'une application linéaire. Probleme d'extension et applications quotientes.

  • Dualité, couplage canonique bilinéaire entre un espace vectoriel et son dual. Application duale et matrice trasposée. Le complement dual d'un sous-espace.


    Chapitre 2 : La structure des opérateurs linéaires

  • Opérateurs diagonalisables; polynome characteristique ; polynome minimal; base de Jordan. (Rappels)

  • Démonstration du theoreme de Jordan.

    devoir 1


    Chapitre 3 : Espaces vectoriels euclidiens et unitaires

  • Forme réelle d'un espace vectoriel complexe. Structures complexes sur un espace vectoriel réel. Complexification d'un espace vectoriel réelle et structures réelles.

  • Produit euclidien sur un espace vectoriel réel. La projection orthogonale et bases orthonormales.

  • Produits unitaires sur un espace vectoriel complexe. Le produit euclidien sur la forme réelle. Applications : inegualité de Cauchy-Schwarz, existence d'une base hermitienne.

  • Opérateurs orthogonaux et unitaires. Formes normales et le Théorème d'Euler.

  • Opérateurs auto-adjoints et formes hermitiennes/symétriques. Théorème de diagonalisation. L'exponentielle d'une matrice hermitienne.

    Liste d'exercices


    Chapitre 4 : Produit tensoriel

  • Le produit tensoriel des espaces vectoriels. Le cas des espaces de dimension finie : bases et dimension. Produit tensoriel des applications linéaires. Le produit tensoriel des matrices.

    devoir 2