Horaire de cours :

Jeudi 11h00-12h30 et 13h30-15h00, SH-2540.

Description du cours :

Ce cours est proposé comme une introduction à la théorie des groupes et algèbres de Lie. Nous couvrirons des sujets classiques, incluant la corréspondence entre les groupes de Lie connexes et simplement connexes et les algèbres de Lie ; sous-groupes fermés ; la représentation adjointe ; groupes de Lie compacts et formes bi-invariantes ; algèbres de Lie résolubles et semi-simples ; les théorèmes de Lie et de Cartan ; formes de Killing ; décomposition des racines ; classification des algèbres de Lie simples ; algèbres de Lie réductives et décomposition de Cartant ; sous-groupes compacts maximaux.

Plan officiel du cours

Références :

Les notes seront la source principal. Voici quelques références utiles.

Pour la théorie de groupes de Lie :

  • F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag.

  • S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, AMS.

  • S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I and II, Interscience Pub.

  • C. Chevalley, Theory of Lie groups I, Princeton Univesrity Press.

    Pour la théorie d'algèbres de Lie et leures représentations :

  • J. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and representation Theory, Springer-Verlag.

  • W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Springer-Verlag

    Groupes et algèbres de Lie linéaires :

  • W. Rossmann, Lie Groups, Oxford Grad. Texts in Math.

    Préparatifs (algèbre linéaire et géométrie différentielle) :

  • A. Kostrikin, Y. Manin, Linear algebra and geometry. Gordon and Breach Science Publishers (ISBN: 90-5699-049-7)

  • N. J. Hitchin, Oxford Lecture Notes

    Heures de consultation :

    En prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)

    Programme du cours sujet par sujet

    Chapitre 1 : Groupes et algèbres de Lie linéaires

  • Formes bi-linéaires non-dégénérées sur un espace vectoriel et les groupes de Lie classiques. exercices 1

  • L'application exponentielle d'un opérateur linéaire. exercices 2

  • Groupes linéaires et leures algébres de Lie. La correspondence entre groupes et algèbres de Lie linéaires. exercices 3

    Chapitre 2 : Groupes et algèbres de Lie abstraites.

  • La notion d'une variété différentiable. Groupes de Lie. L'espace tangent et champs de vecteurs lisses sur une variété différentiable (lisse). exercices 4

  • L'espace des champs de vecteurs invariants sur un groupe de Lie : l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie. L'exemple de GL(n, R). Le flot d'un champ de vecteurs et l'exponentielle sur un groupe de Lie abstrait. exercices 4

  • Le théorème des homomorphismes des groupes de Lie. Revetements. Groupes de Lie simplement connexes et le théorème du revetement universel d'un groupe de Lie. Exemple : le revetement universel de SL(2,R).

  • Le théorème de Frobenius sur une variété lisse et la correspondence de Lie pour un groupe de Lie. Exemple d'un groupe de Lie non-linéaire.

    Devoir I

  • L'application exponentielle. La representation adjointe d'un groupe de Lie. La representation adjointe d'une algèbre de Lie. Correspondence entre sous-groupes de Lie normaux et ideaux de l'algèbre de Lie.

  • Le centre d'un groupe de Lie et son algèbre de Lie. Correspondence entre champs de tenseurs bi-invariants sur un groupe de Lie et tenseurs ad-invariants sur son algèbre de Lie. Applications : la volume de Haar et la caracterisation des algèbres de Lie compactes.

    Chapitre 3 : La théorie d'algèbres de Lie.

  • La forme de Killing d'une algèbre de Lie. Critère de Cartan de compacité. Algèbres de Lie simples et semi-simples. Critère de Cartan de semi-simplicité. exercices 5

  • Algèbres de Lie réductives. Algèbres de Lie résolubles et nilpotentes. Théorèmes d'Engel et de Lie. Appliquations : l'existence d'une chaine d'idéaux stables dans une algèbre de Lie résoluble.

    Devoirs II et III

  • Décomposition de Jordan abstraite. Le critère de Cartan de résolubilité d'une algèbre de Lie. Caractérisation des algèbres de Lie semi-simples en termes de non-existence des idéaux abeliens et résolubles.

    Chapitre 4 : La classification d'algèbres de Lie semi-simples.

  • Sous-algèbre de Cartan et espace des racines. Existence d'une sous-algèbre de Cartan dans une algèbres de Lie semi-simple.



    Programme des présentations orales