Horaire de cours :

Mardi 9h00-12h00 PK-5333; le cours commencera le 16 septembre 2014.

Description du cours :

Le but du cours est d'introduire la théorie des varétés différentiables lisses. Nous couvrirons des sujets classiques, incluant la théorie des applications lisses entre variétés (Théorème de Whitney du plongement, Théorème de Sard); champs de vecteurs et crochet de Lie; fibrés tensoriels; formes différentielles et cohomologie de de Rham; métriques riemanniennes et le flot géodésique; formes harmoniques et théorie de Hodge.

Plan officiel du cours

Références :

Les notes seront la source principal. Voici quelques références utiles.

  • F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag.

  • S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I and II, Interscience Pub.

  • R. Narasimhan, Analysis on real and complex manifolds, Advanced Studies in Pure Mathematics, Masson et Cie-Paris, 1968.

  • A. Kostrikin, Y. Manin, Linear algebra and geometry. Gordon and Breach Science Publishers (ISBN: 90-5699-049-7)

  • N. J. Hitchin, Oxford Lecture Notes

    Heures de consultation :

    En prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)

    Programme du cours semaine par semaine

    Chapitre 1 : Variétés lisses

  • Atlas lisse et la définition d'une variété lisse. Exemples. Applications lisses entre variétés, difféomorphismes. Fonctions lisses sur une variété et les fonctions de plateau.

  • Vecteurs tangents; l'espace tangent et cotangent. La différentielle d'une application lisse entre variétés. Sous-variétés, plongements et immersions. Partition d'unité et le théorème de Whitney de plongement.

  • L'espace tangent comme exemple d'un fibré vectoriel; champs de vecteurs lisses et 1-formes différentielles. Le fibré vectoriel dual.

    Chapitre 2 : Calcul différentiel sur une variété lisse

  • L'action du groupe de difféomorphismes sur une fonction lisse et sur un champ de vecteurs lisse. Correspondence entre sous-groupes d'un paramettre de difféomorphismes et champs de vecteurs lisses. Le crochet de Lie comme derivée. Produit tensoriel d'espaces vectoriels; l'algèbre extérieure.

  • Fibrés tensoriels sur une variété lisse et la dérivée de Lie. Formes différentielles, le produit extérieur, le produit intérieur et la formule de Cartan.

    Devoir 1

  • Cohomologies de de Rham ; lemme de Poincaré; exemples.

  • Orientation et formes volumes. Intégration des formes différentielles. Dualité de Poincaré.

    Devoir 2

    Chapitre 3 : Connexions

  • Structures sur fibrés lisses : orientation, structures pré-symplectiques, structures riemanniennes, structures complexes. Réduction du groupe structurel. Connexions sur un firbré; sections parallelles et le groupe de holonomie d'une connexion. La courbure et l'holonomie.

  • Théorie de Chern-Weil.

    Chapitre 4 : Variétés riemanniennes

  • Le tenseur de Riemann et la distance riemannienne. Exemples de varétés riemanniennes : la sphère, le plan euclidien et le plan hyperbolique. Le groupe d'isométries d'une variété riemannienne.

  • La connexion de Levi-Civita et la courbure riemannienne. Le problème d'equivalence locale. La shpère, le plan euclidien et le plan hyperbolique comme modèles des surfaces à courbure constante.

    Devoir 3

  • Le laplacien riemannien et formes harmoniques. Opérateurs différentiels linéaires elliptiques sur une variété. Le théorème de Hodge.

    Horaire des présentations orales